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Das Konzept der Laplace-Experimente lässt sich auf den Fall einer stetigen Gleichverteilung verallgemeinern. Unter einer bedingten Wahrscheinlichkeit versteht man die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A unter der Voraussetzung, dass das Eintreten eines anderen Ereignisses B bereits bekannt ist.

Natürlich muss B eintreten können, es darf also nicht das unmögliche Ereignis sein. Diese Überlegung galt für einen Laplaceversuch.

Für den allgemeinen Fall definiert man die bedingte Wahrscheinlichkeit von "A, vorausgesetzt B" als. Dass diese Definition sinnvoll ist, zeigt sich daran, dass die so definierte Wahrscheinlichkeit den Axiomen vom Kolmogorow genügt, wenn man sich auf B als neue Ergebnismenge beschränkt ; d.

Aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ergeben sich folgende Konsequenzen:. Die Wahrscheinlichkeit hiervon berechnet sich zu.

Beispiel: Es wird eine Karte aus 32 Karten gezogen. A sei das Ereignis: "Es ist ein König". B sei das Ereignis: "Es ist eine Herz-Karte".

Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A, vorausgesetzt B, lässt sich durch die bedingte Wahrscheinlichkeit von B, vorausgesetzt A, wie folgt ausdrücken, wenn man die totalen Wahrscheinlichkeiten P B und P A hat:.

Es wird nun eine beliebige Kugel aus einer beliebigen Urne gezogen. Die Kugel ist rot. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Kugel aus Urne "A" stammt.

Es sei R das Ereignis "Die Kugel ist rot". Ereignisse nennt man unabhängig voneinander, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht beeinflusst.

Im umgekehrten Fall nennt man sie abhängig. Man definiert:. Beispiel: Es wird eine aus 32 Karten gezogen. A sei das Ereignis "Es ist eine Herz-Karte".

B sei das Ereignis "Es ist eine Bild-Karte". Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik werden zusammenfassend auch als Stochastik bezeichnet.

Beide Gebiete stehen in enger wechselseitiger Beziehung:. Die Wahrscheinlichkeitstheorie entstand aus dem Problem der gerechten Verteilung des Einsatzes bei abgebrochenen Glücksspielen.

Auch andere frühe Anwendungen stammen aus dem Bereich des Glücksspiels. Die vier bedingten Wahrscheinlichkeiten. Stufe teilen. Beide Baumdiagramme enthalten zwar dieselben Informationen, allerdings sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten, die man unmittelbar ablesen kann, verschieden.

Daher ist es in vielen Situationen wichtig, zunächst zu überlegen, welches der beiden Diagramme man anfertigen sollte. Möchten wir aus einem Baumdiagramm das umgekehrte erstellen, kann es hilfreich sein, als Zwischenschritt eine Vierfeldertafel anzufertigen falls diese nicht ohnehin schon vorliegt.

Möchten wir diesen Schritt vermeiden, können wir die Zahlen ganz rechts einfach übernehmen, wobei wir aufpassen müssen, welcher Wert zu welchem Pfad gehört.

Die Wahrscheinlichkeiten der 1. Stufe erhalten wir mit der Pfadadditionsregel. Mithilfe der Baumdiagramme haben wir gelernt, was unter bedingten Wahrscheinlichkeiten im Sachkontext zu verstehen ist.

Im Baumdiagramm haben wir diese Wahrscheinlichkeit so berechnet:. Dies ist möglicherweise auch beim im Unterricht verwendeten Buch der Fall.

Dieses Zeichen stammt aus der Mengenlehre. Manchmal fragt man sich, ob bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment das Ergebnis in der 1.

Stufe den weiteren Verlauf beeinflussen kann. Sehen wir uns ein Beispiel an, bei dem dies deutlich wird:. Wir betrachten eine Urne mit 2 grünen und 3 roten Kugeln.

Aus dieser werden 2 Kugeln gezogen. Legen wir die erste Kugel wieder zurück, dann hat die erste Kugel natürlich keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeiten beim zweiten Ziehen.

Legen wir sie aber nicht zurück, dann hat die erste Kugel sehr wohl einen Einfluss. Das sehen wir daran, dass die Wahrscheinlichkeiten in der 2.

Stufe im rechten Diagramm verschieden sind, je nachdem ob zuerst Rot oder zuerst Grün gezogen wurde. Bei diesem Beispiel war es von vorneherein klar, ob das Ergebnis der 1.

Stufe die 2. Stufe beeinflusst. In vielen Situationen ist dies aber gar nicht klar, sondern kann erst anhand von gegebenen Zahlen berechnet werden.

Das ist etwas absurd, soll aber deutlich machen, dass dies mit Logik allein nicht zu begründen wäre — wir brauchen Daten, mit denen wir rechnen können.

Die Auswertung an einer Schule hat vielleicht dies hier ergeben:. Die Wahl eins Deutsch-LKs hingegen schon. In der Stufe 10 und oder in einem Grundkurs dürfte die Erklärung von oben, was unter stochastischer Unabhängigkeit zu verstehen ist, eigentlich genügen.

Für alle, die etwas neugieriger sind, sehen wir uns noch etwas striktere und formalere Definition an:. Mit der folgenden Überlegung können wir uns einen groben Eindruck davon machen, warum dies eine geeignete formale Definition ist.

Wir gehen zunächst davon aus, dass ist, d. Der Bruch ist aber genau die bedingte Wahrscheinlichkeit. Das Eintreten von verändert also die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von nicht, wenn wir stochastische Unabhängigkeit im Sinne der formalen Definition voraussetzen.

Mit ein paar weiteren Umformungen kann man auch zeigen, dass dann auch gilt. Das spiegelt genau unsere Einführung von oben wieder, in der wir gesagt haben, dass die Teilbäume der zweiten Stufe gleich beschriftet sein müssen.

Nehmen wir an, wir haben ein Baumdiagramm gegeben und kennen alle Wahrscheinlichkeiten, die man dort angeben kann:.

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